Challenge Hebdomadaire

Semaine du 18 décembre

Six arbres se trouvent aux six sommets d’un hexagone régulier. Sur chaque arbre se pose un oiseau. Toutes les minutes, deux oiseaux simultanément vont de leur arbre à l’un des deux arbres voisins. Peut-on avoir, après un certain nombre de minutes, tous les oiseaux regroupés sur un même arbre ?

Semaine du 11 décembre

Dans un bassin, un nénuphar croît en doublant de taille chaque jour. Au bout de 30 jours il a rempli la totalité du bassin. Au bout de combien de jours avait-il rempli la moitié du bassin ?

Solution

Ce challenge était plus une devinette logique qu’un problème mathématique mais ne fallait pas tomber dans le piège ! Comme le nénuphar a doublé de taille entre le 29e et le 30e jour, cela signifie qu’il avait rempli la moitié du bassin au bout de 29 jours.

Semaine du 4 Décembre

 On coupe une baguette de pain en trois morceaux au hasard.
Quelle est la probabilité que l’on puisse former un triangle dont les trois côtés sont les morceaux de pain obtenus ?
(Proposé par Eva)
Solution

Commençons par réfléchir aux conditions pour que trois longueurs données permettent de former un triangle dont les côté sont de ces longueurs. L’inégalité triangulaire impose que chaque côté soir de longueur inférieure à la somme des deux autres. Imposer que la plus grande des trois longueurs soit inférieure à la somme des deux autres est une condition nécessaire et suffisante.

On va noter 1 la longueur de notre baguette. Si les trois morceaux obtenus ne peuvent pas former un triangle, cela signifie que le plus long, de longueur notée x est plus grand que la somme des deux autres, qui est égale à 1-x.  Donc x est supérieur à 1/2. Quelle est la probabilité que l’un des trois morceaux soit de longueur supérieure à 1/2 ? Un découpage de la baguette correspond à choisir les deux coups de couteaux uniformément au hasard dans le segment [0,1]. On obtient trois segments, le plus long pouvant se trouver en premier, en deuxième ou en troisième.

Quelle est la probabilité que le premier segment soit de longueur supérieure à 1/2 ? (ce sera alors nécessairement le plus long) Pour que le premier segment soit de longueur supérieure à 1/2, il faut que les deux coups de couteau soit dans la partie [1/2, 1], ce qui a une proba de 1/2 pour chaque coup de couteau, donc une proba de 1/4 au total (les deux coups de couteau sont indépendants). Or, la probabilité que le deuxième segment soit de longueur supérieure à 1/2 est identique car l’ordre des segments n’a pas d’influence. De même pour la probabilité que le troisième segment soir de longueur supérieure à 1/2.

Au total, la probabilité que le plus long segment soit de longueur supérieure à 1/2 est donc :

1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4.

Et la probabilité que cet événement n’arrive pas, donc que l’on puisse former un triangle est de :

1-3/4 = 1/4.

Semaine du 27 Novembre

Sara et Camille jouent à un jeu : elles choisissent chacune un entier positif au hasard, qu’elles disent à Marc. 
Marc écrit la somme des deux nombres et le produit des deux nombres sur deux morceaux de papiers.
Il montre l’un des deux papiers à Sara et Camille, sans dire duquel il s’agit. Il porte le nombre 2018.
Camille dit : « Je ne sais pas quel est le nombre de Sara.» 
Sara ajoute : « Moi non plus, je ne sais pas quel est le nombre de Camille. »
 
Quel est le nombre de Sara ?
 
(Proposé par Eva)
Solution

Notons c le nombre choisi par Camille et s le nombre choisi par Sara.

On sait que soit

s + c = 2018,

soit

sc=2018.

Le fait que ni Sara ni Camille ne puisse déterminer dans quel cas on est (addition ou multiplication) indique que s et c sont des diviseurs de 2018 (sinon l’une des deux saurait qu’on est dans le cas de l’addition et pourrait en déduire le nombre de l’autre). Les diviseurs positifs de 2018 sont 1, 2, 1009, 2018. La seule possibilité pour avoir la somme de deux diviseurs égale à 2018 est 1009 + 1009.  Cela signifie que Sara a le choix entre deux hypothèses : 1009 + 1009 ou 2 x 1009.

Son nombre est donc 1009.

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